ВИБІР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦІННИХ ПАПЕРІВ

Для формування теоретично ефективної безлічі є кілька підходів, огляд яких був раніше представлений. Причому для створення гіпотетично ефективного портфеля цінних паперів ми скористаємося небазової моделлю вибору портфеля, а модифікованою версією базової моделі вибору портфеля, крім того, універсальної точкової моделлю оптимізації фінансового інвестиційного портфеля П-Ка. Нагадаємо, зазначені моделі доповнюють базову модель вибору портфеля, усуваючи її окремі проблеми, зокрема допущення про подільність об'єднуються в портфель цінних паперів, хоча має місце їх реальна неподільність. Через це протиріччя виникають рекомендації про формування портфеля, що складається з дрібного числа фінансових активів, що неможливо на практиці. Відповідно, інвестор змушений коригувати результати отриманих розрахунків, що призводить до зміни рекомендованих рівнів фінансового інвестиційного ризику і очікуваної прибутковості портфеля, часто роблячи безглуздою процедуру відбору цінних паперів. Загалом, щоб уникнути зазначеного протиріччя, зафіксуємо неподільність цінних паперів за допомогою наступної записи:

де qj - кількість фінансових активів j в приватному фінансовому інвестиційному портфелі p- безліч цілих чисел. Базова модель вибору портфеля, а разом з нею і модифікована версія базової моделі вибору портфеля накладають заборону на короткі продажі цінних паперів:

Заборона (на чому ще належить зупинитися), описуваний нерівністю (3.20), стає проблемою, коли мають місце негативні значення очікуваної прибутковості цінних паперів. Останнє передбачає зниження їх курсів. Зауважимо, якщо вироблені рекомендації на покупку потенційно знецінюються фінансових активів, то створення портфеля на їх основі є фундаментальна помилка, яка веде до отримання негативного фінансового результату у вигляді від'ємної курсової різниці (зрозуміло, якщо купити цінні папери дорого, а потім продати дешево). Дану проблему вирішує універсальна точкова модель оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ka, рекомендуючи короткий продаж, коли мають місце негативні значення очікуваної прибутковості цінних паперів, інакше кажучи, якщо передбачається зниження їх курсів. Це дозволить інвестору отримати позитивний фінансовий результат у вигляді позитивної курсової різниці (зрозуміло, якщо продати цінні папери дорого, а потім викупити дешево).

Принципово важливо вказати на формулу, яка дозволяє обчислити загальне число поєднань цінних паперів:

де Qcomh - число поєднань фінансових активів; х - число видів цінних паперів, зафіксованих в будь-якому сегменті біржового фондового ринку (наприклад, в складі індексу). Розглянемо приклад. Якщо взяти біржової фондовий індекс (який містить акції 500 публічних компаній), то число поєднань складе 2500 - 1 ~ 3,2734 • 10 | е0. Для ідентифікації всіх комбінацій, навіть при наявності технічних засобів, потрібен час, порівнянне або перевищує термін існування, наприклад, Сонячної системи. Але ж мова йде про реальні високоліквідних ринках капіталу. Запис (3.21) вказує на те, що необхідно обмежити число видів цінних паперів, які беруть участь у формуванні фінансового інвестиційного портфеля. Нехай, як і раніше, воно буде кінцевим, тобто j = 1, ..., h. Звідси, якщо пригадати теорему про ефективні множини, описуваний даної теоремою портфель цінних паперів можна вважати ефективним лише теоретично, оскільки це не можна довести. Однак доречно припустити, що обраний фінансовий інвестиційний портфель є ефективним. Якщо ж сформований портфель задовольняє заданим параметрам за рівнем фінансового інвестиційного ризику або значенням очікуваної прибутковості, то даний портфель доречно вважати оптимальним.

Зрозуміло, для здійснення інвестицій будь-ринковий суб'єкт має обмежений обсяг грошових коштів, наприклад визначається нерівністю

де Р. - ринковий курс фінансового активу у; Р. * q. - необхідний для формування приватного фінансового інвестиційного портфеля р обсяг грошових коштів; Мау - наявна у інвестора сума грошових коштів.

Відзначимо, що чим більше ринковий курс і кількість фінансових активів у портфелі, тим більший обсяг грошових коштів необхідний для створення фінансового інвестиційного портфеля. Проте, необхідний для створення портфеля обсяг грошових коштів не повинен перевищувати наявний у інвестора в наявності.

З огляду на, що в портфель можуть потрапити цінні папери з различающимися курсами і в різних кількостях, фактична прибутковість по фінансовому інвестиційним портфелем повинна бути обчислена як середньозважена за кількістю величина фактичних доходностей цінних паперів, які формують композицію портфеля:

де Rp t - фактична прибутковість по приватному фінансовому інвестиційним портфелем р за період часу t.

Запис (3.23) ідентична записи (1.1) за впливом параметрів на величину фактичної прибутковості. Звідси очікувана прибутковість і фінансовий інвестиційний ризик по портфелю можуть бути визначені по аналогії з виразами (1.2) і (1.3), формалізує відповідні показники за фінансовим активом у:

де R - очікувана прибутковість по приватному фінансовому інвестиційним портфелем р ар - стандартне відхилення, що є мірою ризику по приватному фінансовому інвестиційним портфелем р.

Записи (3.24), (3.25) ідентичні записам (1.2), (1.3) за впливом параметрів на величину очікуваної прибутковості і фінансового інвестиційного ризику.

Нагадаємо, що, виходячи з теореми про ефективні множини, при формуванні портфеля ми розглядаємо дві альтернативи: 1) максимізація очікуваної прибутковості при заданому рівні фінансового інвестиційного ризику; 2) мінімізація фінансового інвестиційного ризику при заданому рівні очікуваної прибутковості. Звідси портфелі, умовам будь-якого з двох умов, будемо вважати теоретично ефективними, при цьому оптимальними по заданих параметрах ризику і очікуваної прибутковості:

де а - заданий рівень фінансового інвестиційного ризику; Rest - заданий рівень очікуваної прибутковості.

Моделі (3.26) і (3.27) диктують неминучість вибору фінансових активів з найбільшими асинхронними (нагадаємо, почасти взаємно погашати один одного) коливаннями фактичної дохідності [1] . Відзначимо, що кількість відібраних цінних паперів має бути і буде таким, щоб посилити асинхронність (отже, взаємне погашення) коливань фактичної прибутковості об'єднуються в портфель фінансових активів. Зрозуміло, якщо при цьому виконуються вимоги інвестора до заданого рівня очікуваної прибутковості або до заданого рівня фінансового інвестиційного ризику. Загалом, одночасне виконання позицій (3.19) - (3.26) або в якості альтернативи (3.27) утворює алгоритми модифікованої версії базової моделі вибору портфеля:

Зрозуміло, рішення алгоритмів (3.28), (3.29) вимагає застосування апаратно-програмних технологій. Проте пояснимо принцип дії наведених вище алгоритмів, для чого звернемо увагу на інтегровану в них запис (3.23). Спочатку в портфелі повинно міститися позитивне число цінних паперів кожного виду. Далі треба початкове число фінансових активів, наприклад у, збільшити на одиницю. Якщо відбувається зниження рівня фінансового інвестиційного ризику портфеля в рамках моделі (3.28) або зростання очікуваної прибутковості портфеля в рамках моделі (3.29), то число фінансових активів j збільшується ще на одиницю. Якщо чергове збільшення числа фінансових активів j призводить до зростання рівня фінансового інвестиційного ризику портфеля в рамках моделі (3.28) або до зниження очікуваної прибутковості портфеля в рамках моделі (3.29), то число фінансових активів j фіксується (повертається) на попередньому значенні. Якщо початкове число фінансових активів, наприклад h, збільшити на одиницю, після чого відбувається зростання рівня фінансового інвестиційного ризику портфеля в рамках моделі (3.28) або зниження очікуваної прибутковості портфеля в рамках моделі (3.29), то число фінансових активів h повертається до початкового значення.

Далі треба число фінансових активів h знизити на одиницю. Якщо відбувається зниження рівня фінансового інвестиційного ризику портфеля в рамках моделі (3.28) або зростання очікуваної прибутковості портфеля в рамках моделі (3.29), то число фінансових активів h знижується ще на одиницю. Якщо ж чергове зниження числа фінансових активів h призводить до зростання рівня фінансового інвестиційного ризику портфеля в рамках моделі (3.28) або до зниження очікуваної прибутковості портфеля в рамках моделі (3.29), то число фінансових активів h фіксується (повертається) на попередньому значенні. Дані процедури проводяться за всіма видами цінних паперів, що розглядаються з метою включення у фінансовий інвестиційний портфель, поки не будуть виконані умови (3.26) в рамках моделі (3.28) або умови (3.27) в рамках моделі (3.29). Саме подібним чином вирішуються поставлені оптимізаційні завдання - методом узагальненого понижуючого градієнта.

Тепер пояснимо, чому строго обов'язковим є виконання нерівності (3.20), інтегрованого в алгоритми (3.28), (3.29). Припустимо, нерівність (3.20) відсутня на тлі спостерігаються по кожному фінансовому активу виключно позитивних значень фактичної дохідності (Rj t> 0). Тоді при негативному числі фінансових активів (q.

Розглянемо випадок, коли нерівність (3.20) виконується на тлі спостерігаються по кожному фінансовому активу виключно негативних значень фактичної дохідності (Я t 0). Звернемо увагу на умову (3.27), інтегроване в алгоритм (3.29). Якщо інвестор раціональний, то він поставить очікувану прибутковість, що перевищує нульовий рівень (Rest> 0), отже, в портфель не ввійде жоден фінансовий актив, оскільки кожен має від'ємним значенням фактичної дохідності, а звідси і негативною оцінкою очікуваної прибутковості. Інакше кажучи, алгоритм (3.29) виявиться непрацездатним. Інша ситуація з алгоритмом (3.28), так як інтегроване в нього умова (3.26) не припускав фіксування виключно позитивного рівня очікуваної прибутковості, отже, портфель може бути сформований з фінансових активів, що володіють тільки негативними оцінками очікуваної прибутковості. Про помилковість же рекомендацій з придбання потенційно знецінюються фінансових активів уже згадувалося. Загалом, абсолютно очевидно, що модифікована версія базової моделі вибору портфеля призначена для застосування на зростаючих біржових фондових ринках, коли спостерігається підвищення курсів цінних паперів.

Однак на падаючих біржових фондових ринках, коли спостерігається зниження курсів цінних паперів, а також на волатильних (по-іншому, бічних) біржових фондових ринках, коли спостерігається різноспрямована зміна курсів цінних паперів, модифікована версія базової моделі вибору портфеля застосовуватися не повинна. Тут доречно скористатися універсальної точкової моделлю оптимізації фінансового інвестиційного портфеля И-Ка, алгоритми якої (на обговоренні чого ще належить зупинитися) враховують можливість покупки фінансових активів, що мають позитивну очікувану прибутковість, або короткого продажу фінансових активів, що мають негативну очікувану прибутковість, а також покупки або короткого продажу фінансових активів, що мають нульову очікувану прибутковість. Це повинно позитивно позначитися на диверсифікації портфеля цінних паперів, зокрема на зниженні його фінансового інвестиційного ризику і підвищення очікуваної прибутковості, для чого знімемо обмеження (3.20), що вимагає внесення змін до формалізований на основі запису (3.23) порядок обчислення фактичної прибутковості по портфелю. Даний порядок пов'язаний з трьома показаними в формулі умовами:

Незважаючи на гадану складність, запис (3.30) ідентична записам (1.1) і (3.23) за впливом параметрів на величину фактичної прибутковості. Більш того, зв'язок розрахунку фактичної дохідності по портфелю цінних паперів з вибором множника у вигляді позитивного або негативного числа фінансових активів в портфелі дозволить використовувати універсальну точкову модель оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ka на зростаючих, бічних і падаючих біржових фондових ринках (див. Про це нижче).

Отже, тепер фінансовий інвестиційний портфель може мати тільки позитивну очікувану прибутковість, що ще належить обговорити. Останнє забезпечується за рахунок включення в портфель позитивного або негативного числа цінних паперів. Нагадаємо, негативне число цінних паперів в портфелі (- qj) означає їх короткий продаж, проте зобов'язання викупу запозичених цінних паперів ніяк не знижує обсяг грошових коштів, необхідних для створення фінансового інвестиційного портфеля. Звідси і необхідність внесення змін в формулу (3.22):

де Pj? | qj - необхідний для формування приватного фінансового

інвестиційного портфеля р обсяг грошових коштів.

Обмеження (3.31) ідентично обмеження (3.22) за впливом параметрів на обсяг грошових коштів, необхідних для створення фінансового інвестиційного портфеля. Звернемо увагу на два моменти, що характеризують логіку записи (3.31). По-перше, якщо портфель містить позитивне число фінансових активів (д), то очевидна їхня покупка в тому обсязі витрат, на який вказує обмеження (3.31). Значить, воно справедливо. По-друге, якщо портфель містить негативне число фінансових активів (- q), то очевидна їх короткий продаж, що припускає викуп у тому обсязі витрат, на який вказує обмеження (3.31). Значить, воно знову справедливо.

Ще раз нагадаємо, що, виходячи з теореми про ефективні множини, при формуванні портфеля ми розглядаємо дві альтернативи: 1) максимізація очікуваної прибутковості при заданому рівні фінансового інвестиційного ризику; 2) мінімізація фінансового інвестиційного ризику при заданому рівні очікуваної прибутковості. Звідси портфелі, умовам будь-якого з двох умов, будемо вважати теоретично ефективними, причому оптимальними по заданих параметрах ризику і очікуваної прибутковості, що описують раніше представлені умови (3.26), (3.27). Тоді одночасне виконання позицій (1.1), (1.2), (3.19), (3.24), (3.25), (3.30), (3.31), (3.26) або в якості альтернативи (3.27) утворює алгоритми універсальної точкової моделі оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ka:

Зрозуміло, рішення алгоритмів (3.32) і (3.33) також вимагає застосування апаратно-програмних технологій. Принцип дії алгоритмів (3.32), (3.33) дуже схожий на принцип дії алгоритмів (3.28), (3.29). Поставлені оптимізаційні завдання вирішуються методом узагальненого понижуючого градієнта. Однак тут є і свої особливості, які потребують пояснення.

Як уже згадувалося, в практиці біржової торгівлі існує продаж запозичених цінних паперів в очікуванні зниження їх курсів з подальшим викупом цих цінних паперів за нижчими цінами, інакше кажучи, мова йде про короткої продажу. Причому інвестор хотів би зробити названу операцію з розглянутими фінансовими активами, якби вони мали негативну очікувану прибутковість (тобто приблизно знецінилися б), а цінні папери з позитивною очікуваною прибутковістю (курсова вартість яких імовірно виросте) волів би придбати і отримати дохід в вигляді позитивної курсової різниці від обох операцій. І це на тлі можливого погашення коливань фактичної прибутковості по фінансовому інвестиційним портфелем. Саме тут і зосереджена основна ідея універсальної точкової моделі оптимізації фінансового інвестиційного портфеля И-Ка, а саме: можливість формування фінансового інвестиційного портфеля, що складається одночасно з проданих і куплених цінних паперів. Це могло б дозволити значно (чи не до символічного рівня) знизити фінансовий інвестиційний ризик (тобто захиститися від коливань фактичної прибутковості), а також максимізувати очікувану прибутковість портфеля цінних паперів на біржовому фондовому ринку з більш-менш вираженим (зростання / падіння ) ціновим трендом або без нього.

Для розуміння зазначеної ідеї звернемо увагу на інтегроване в алгоритми (3.32), (3.33) умова (3.30), що дозволяє розрахувати завжди неотрицательную фактичну прибутковість по портфелю цінних паперів незалежно від того, якими є фактичні значення прибутковості окремих цінних паперів, що входять в портфель. Як можна помітити, в структурі умови (3.30) зафіксовані правила коригування знака фінансового результату в залежності від складних ринкових цін на фінансові активи. Розглянемо докладніше наявні тут особливості і виникають унікальні можливості на прикладі фінансового активу у.

1. Если відбувається Підвищення ринкового курсу ЦІННИХ ПАПЕРІВ, то по ній спостерігається позитивна фактична прібутковість, отже, позитивна очікувана прібутковість. Відповідно, вираз (3.30) трансформується в запис (3.34), а число цінних паперів у фінансовому інвестиційному портфелі має бути позитивним - це означає їх покупку. Таким чином, при підстановці в формулу (3.30) позитивного кількості цінних паперів отримаємо позитивне значення чисельника (виражає дохід), значення ж знаменника (виражає вкладення капіталу) незмінно залишається позитивним:

2. Якщо відбувається зниження ринкового курсу цінних паперів, то по ній спостерігається негативна фактична прибутковість, отже, негативна очікувана прибутковість. Відповідно, вираз (3.30) трансформується в запис (3.35), а число цінних паперів в портфелі має бути негативним - це означає їх короткий продаж. Таким чином, при підстановці в формулу (3.30) негативного кількості цінних паперів отримаємо позитивне значення чисельника (виражає дохід), а значення знаменника (виражає вкладення капіталу) все також залишається позитивним:

3. Якщо відбувається різноспрямована зміна (підвищення і зниження) ринкового курсу цінних паперів, то по ній теоретично може спостерігатися Елімінується один одного (позитивна і негативна) фактична прибутковість, отже, нульова очікувана прибутковість. Відповідно, вираз (3.30) трансформується в запис (3.36), а число цінних паперів в портфелі може бути будь-яким. Таким чином, при підстановці в формулу (3.30) будь-якої кількості цінних паперів отримаємо нульове значення чисельника, значення ж знаменника і раніше залишається позитивним:

У формулах (3.34) - (3.36) представлені всі об'єднані в вираженні (3.30) випадки відбору цінних паперів. Отриманий позитивний або нульовий результат обчислення фактичної прибутковості по кожному фінансовому активу дає право підсумувати фактичні прибутковості для отримання її значення по портфелю цінних паперів. А при об'єднанні всіх умов в алгоритми універсальної точкової моделі оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ка виходить інструмент для вирішення завдання по складанню портфеля одночасно з куплених і проданих цінних паперів. Загалом, на відміну від модифікованої версії базової моделі вибору портфеля, яка працездатна на зростаючих біржових фондових ринках, універсальна точкова модель оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ка працездатна на падаючих, зростаючих і бічних біржових фондових ринках.

Однак в універсальності є і недолік. Зокрема, на зростаючих біржових фондових ринках універсальна точкова модель оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ka може привести до гіршого результату по досягненню умов (3.26), (3.27) у порівнянні з модифікованою версією базової моделі вибору портфеля. Іншими словами, остання здатна рекомендувати композицію портфеля з більшою очікуваною прибутковістю при зафіксованому рівні фінансового інвестиційного ризику або меншим фінансовим інвестиційним ризиком при зафіксованому рівні очікуваної прибутковості. Отже, для формування портфеля цінних паперів доречно користуватися обома моделями.

Відносно універсальної точкової моделі оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ka треба вказати на те, що її застосування може суперечити законодавству в сфері ринку цінних паперів. Наприклад, інвестор може діяти в режимі, законодавчо виключає короткі продажі цінних паперів, звідси однозначно виключається і використання названої моделі [2] .

Нарешті, модифікована версія базової моделі вибору портфеля, а також універсальна точкова модель оптимізації фінансового інвестиційного портфеля Li-Ка мають цілий ряд схожих властивостей і недоліків:

• 1. Мінімізація фінансового інвестиційного ризику при заданому рівні очікуваної прибутковості в рамках алгоритму (3.29), що збігається з рівнем очікуваної прибутковості, отриманої в рамках алгоритму (3.28), може і не призвести до того ж значенням фінансового інвестиційного ризику, яке було вказано при максимізації очікуваної прибутковості в рамках алгоритму (3.28). Те саме можна сказати і до алгоритмів (3.32), (3.33). Це є наслідком нестро- гості задаються обмежень, оскільки в рамках оптимізаційних процедур встановлюються максимальне (але не строго точкове) значення з фінансового інвестиційного ризику і мінімальне (причому також не строго точкове) значення по очікуваної прибутковості. Останнє наводить на думку про те, що оптимальний портфель може бути отриманий і при меншому значенні фінансового інвестиційного ризику (у порівнянні із заданою величиною), а також при більшому значенні очікуваної прибутковості (в порівнянні із заданою величиною).
• 2. Не враховуються комісії, що стягуються брокерськими компаніями, що надають інвесторам доступ до купівлі-продажу цінних паперів. Дане упущення може значно знизити фінансовий результат, а в разі фіксації позитивної курсової різниці з мінімальним відхиленням від ціни придбання / продажу навіть призвести до збитків. Однак величина комісійних витрат може бути знижена до нуля. Це можна досягти завдяки тому, що брокерські компанії можуть надавати тариф на обслуговування без стягнення комісії, за умови підтримки інвестором на своєму особовому рахунку незнижуваного залишку понад деякої встановленої суми.
• 3. Не враховується оподаткування. Однак це не має безпосереднього впливу на процедури формування портфеля. Оподаткування операцій з цінними паперами відбувається відповідно до чинних законодавчих режимами. У більшості випадків податки нараховуються на позитивний фінансовий результат після сплати комісій. Таким чином, даний аспект слід мати на увазі.
• 4. Присутній необхідність інтуїтивного вибору рівнів очікуваної прибутковості і фінансового інвестиційного ризику. Причому дані критерії нічим не регламентовані, відповідно, їх вибір залежить виключно від переваг інвестора, що відносить дану задачу до області психології.
• 5. Суттєвим є утруднення з вибором довжини релевантного проміжку часу, іншими словами, придатного для оптимізації портфеля динамічного ряду, що складається з значень фактичної прибутковості включаються в портфель цінних паперів. Ця проблема - наслідок прийняття в розрахунок виключно точкової оцінки очікуваної прибутковості фінансового інвестиційного портфеля, як ніби-то очікування інвесторів однорідні, що явно суперечить дійсності. Для вирішення означеної проблеми доведеться задіяти якийсь інший інструментарій.

Далі необхідно показати додаткові можливості і альтернативні підходи до фінансового інвестування.